Proseminar Analysis Sommersemester 2026
Vorbesprechung
Die Vorbesprechung findet am
Mi., 18.03.2026, 18:00 - 19:00
online statt.
Termin
Di., 11:15 - 12:45
SR 5 in INF 205 (Mathematikon)
Müsli
Die Vortragsthemen werden über Müsli vergeben. Dazu werden nach der Vorbesprechung die einzelnen Vorträge angelegt, und Sie sind aufgefordert mindestens drei Themen, die Sie gern bearbeiten würden, auszuwählen. Dazu haben Sie Zeit bis zum 22.03.2026 23:59, danach werden die Themen nach einem speziellen Algorithmus zugeteilt. Dann sollten hoffentlich alle einen Vortrag bekommen haben, für den sie Interesse bekundet haben. Danach werden eventuell noch freie Themen nach dem Prinzip First-Come-First-Served vergeben.
Voraussetzungen
Voraussetzung ist die Grundvorlesung Analysis 1. Viele Themen können mit Kenntnissen aus der Schulmathematik bearbeitet werden und könnten auch in der gymnasialen Oberstufe behandelt werden.
Inhalt
In der Analysis 1 (und weiteren Veranstaltungen im Verlauf Ihres Studiums) treffen Sie auf verschiedenste Ungleichungen, die in unzähligen Beweisen als nützliche Hilfsmittel einsetzbar sind - je mehr Ungleichungen man kennt oder beweisen kann, desto besser. Die ersten Vorträge werden sich daher mit einigen speziellen Ungleichungen und verschiedenen Beweismethoden befassen.
Anschließend werden wir etwas genauer auf unendliche Reihen eingehen, die ein grundlegender Baustein der Analysis sind (vielleicht wurden ja in Ihrer Analysis 1 zum Beispiel die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Grenzwerten konvergenter Reihen mit rationalen Summanden eingeführt). Einige einfache Konvergenzkriterien werden in der Analysis 1 behandelt, wir werden uns hier einige ausgefeiltere Kriterien ansehen, die weiterhelfen können, wenn etwa Quotienten- und Wurzelkriterium versagen.
Schließlich werden wir, sofern die Zeit es erlaubt, beliebte Beweismethoden nutzen, um einige speziellen Zahlen auf (Ir)Rationaliät und vielleicht sogar Transzendenz zu untersuchen.
Themenliste
| Termin | Titel und Inhalt | Ref. |
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1 |
Homogenität, Symmetrie und erste Ungleichungen Wir führen homogene und symmetrische Ausdrücke ein und untersuchen, wie diese Eigenschaften beim Beweis von Ungleichungen helfen können. Als Paradebeispiel formulieren und beweisen wir eine Form der Schurschen Ungleichung (Abschnitt 2.8 in [Ve]). |
[S2] Kap. 6, |
| 2 |
Die Umordnungsungleichung und einige Anwendungen Wir werden die Umordnungsungleichung und eine einfache Folgerung davon beweisen. Anschließend wenden wir diese Ungleichung in einem Beispiel an. |
[Ve] Abs. 1.5 |
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3 |
Die Ungleichung von arithmetischem und geometrischem Mittel Wir nutzen eine elementare Ungleichung zwischen dem Infimum einer Summe und der Summe von Infima geeigneter Funktionen, um die bekannte Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel für positive Zahlen auf einfache Art zu beweisen. Die Kunst besteht in der Wahl geeigneter Funktionen. |
[Ch] Thm. 2.1 |
| 4 |
Die Cauchy-Schwarz- und die Dreiecksungleichung Die Methode des vorigen Vortrags nutzen wir nun für einen neuen Beweis der Cauchy-Schwarz- und der Dreiecksungleichung. Wieder wird die Wahl passender Funktionen der Schlüssel zum Beweis sein. |
[Ch] Thm. 2.2 und 2.3 |
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5 |
Hölder- und eine weitere Mittel-Ungleichung Die und inzwischen vertraute Methode wird nun benutzt, um die Höldersche Ungleichung und eine Ungleichung zwischen gewichteten Mitteln zu beweisen. |
[Ch] Bemerkung nach Thm. 2.3 |
| 6 |
Die Ungleichung von Ky Fan Nun beweisen wir schließlich die Ky-Fan-Ungleichung. Diese spielt unter anderem in der nichtlinearen Funktionalanalysis eine Rolle - um so beeindruckender ist, dass wir sie bereits hier mit elementaren Mitteln beweisen können. |
[Ch] Thm. 2.4 |
| 7 |
Ein neuer Blick auf Ungleichungen zwischen Mitteln Wir führen einen eleganten und sehr alten (mutmaßlich auf Pappus von Alexandria zurückgehenden) Beweis für die Ungleichungen zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel zweier positiver reeller Zahlen. Für ebensolche Zahlen finden wir zu diesen und weiteren Mittelwerten eine Darstellung als Quotient zweier Integrale, aus der alle Mittelungleichungen folgen, sofern die Monotonie dieses Quotienten gezeigt werden kann. Nur für den letzten Punkt werden Methoden aus der Analysis 2 benutzt. |
[Ch] Kap. 3 |
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8 |
Die Monotonie-Regel von l'Hopital Die l'Hopitalsche Regel kennen Sie zum Berechnen von Grenzwerten von Quotienten oder Produkten, bei denen die elementaren Rechenregeln Ausdrücke der Form "0/0" liefern würden und damit unbrauchbar sind. Eine ähnliche Regel lässt sich für die Monotonie von Quotienten f(x)/g(x) formulieren. Statt der oft zu komplizierten Rechnungen führenden Quotientenregel können wir einfach mit dem Quotienten f'('x)/g'(x) rechnen. Das ganze will natürlich zunächst bewiesen werden, bevor wir uns erste Anwendungen ansehen. |
[Ch] Kap.4 |
| 9 |
Weitere Anwendungen der Monotonieregel Die im letzten Vortrag eingeführte Monotonieregel von l'Hopital wird nun zum Beweis weiterer Ungleichungen genutzt. Wir werden auch an einem einfachen Gegenbeispiel sehen, dass die Umkehrung des im vorigen Vortrag bewiesenen Theorems im allgemeinen nicht gilt. |
[Ch] Kap. 4 |
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10 |
Verdichtungssätze für unendliche Reihen Wird der Verdichtungssatz von Cauchy (Thm. 2.3 in [BK]) noch gelegentlich in der Analysis 1 behandelt, geht die Verallgemeinerung nach Schlömilch (Thm. 2.4 in [BK]) an den meisten Studierenden vorbei. Diese Lücke schließen wir, indem wir beide Sätze beweisen und anschließend anhand einiger Beispiele sehen, wie sie bei der Untersuchung von Reihen auf Konvergenz angewandt werden können. |
[BK] Abs. 2.1 [LTB] Abs. 3.5 |
| 11 |
Asymptotische Vergleichskriterien und Anwendung der Verdichtungssätze Wir erinnern an das Vergleichskriterium für Reihen und formulieren asymptotische Varianten davon (Thm. 1.52 und 1.53 in [BK]). Anschließend nutzen wir diese und die Verdichtungssätze um einige Reihen auf Konvergenz zu untersuchen. |
[BK] Abs. 1.5 & 2.1 [LTB] Abs. 3.5 |
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12 |
Konvergenzkriterien von Kummer und Raabe Wir beweisen eine Beobachtung von Kummer und leiten daraus einen recht kompliziert anmutenden, aber sehr mächtigen (prinzipiell universell einsetzbaren) Konvergenztest (Thm. 2.6 in [BK]) her. Als spezielle Form davon erhalten wir den bekannteren, aber in der Analysis 1 dennoch nur selten behandelten Konvergenztest von Raabe (Thm. 2.8 in [BK]) und wenden diesen auf ausgewählte Beispielreihen an. |
[BK] Abs. 2.2 und 2.3 zusätzlich: [LTB] Abs. 3.9 [Jo] Abs. 7.7 |
| 13 |
Verschärfung des Tests von Raabe, Konvergenztest nach Gauß Zunächst betrachten wir eine leicht verschärfte Version des Kriteriums von Raabe (Thm. 2.9 in [BK]) zusammen mit einem Beispiel und verschärfen dann den Raabeschen Konvergenztest zum Test nach Gauß (auch einer Form des Kummerschen Tests, Thm. 2.12 in [BK]). Letzteren wenden wir auch auf ein Beispiel an. |
[BK] Abs. 2.3 |
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14 |
Konvergenztests von Abel und Dirichlet Abschließend betrachten wir das diskrete Analogon zur partiellen integration und beweisen damit den Konvergenztest von Abel. Als Folgerungen davon lernen wir die Test nach Dirichlet und nach du Bois-Reymond kennen. |
[BK] Abs. 2.5 |
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15 |
Die Irrationalität von Wurzeln und von e Ist die Transzendenz vieler Zahlen fast unmöglich zu beweisen, ist die Nachweis der Irrationalität für viele Zahlen oft auch nicht einfach einzusehen. Wir beweisen zunächst die Irrationalität von Quadratwurzeln nicht perfekter Quadrate und anschließend die Irrationalität einiger weiterer Wurzeln und Summen von Wurzeln. Für die Irrationalität der Eulerschen Zahl e gibt es recht elegante Beweise, von denen wir uns hier einen ansehen werden. |
[La] Kap. 1 |
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Die Irrationalität von π und einigen Werten des Cosinus Wir zeigen, dass für Zahlen r zwischen 0 und (einschließlich) π mindestens eine der Zahlen r, cos(rx) oder sin(rx) irrational sein muss. Für r = π ergibt sich dann sofort die Irrationalität von π. Anschließend werden wir die Zahlen cos(rπ) mit algebraischen Zahlen r genauer auf Rationalität untersuchen. |
[La] Kap. 1 |
Anforderungen
Zu einem Thema halten Sie einen Vortrag von ca. 45-60 Minuten plus Diskussion. Die Vorträge werden an der Tafel gehalten, dazu wird eine Zusammenfassung (höchstens eine A4-Seite) für das Publikum erstellt. Darauf können auch Sie Formeln, Theoreme u.ä. unterbringen, die Sie oft benutzen werden. Dann hat das Publikum diese stets zum Nachschlagen parat. Sie können dort auch graphische Illustrationen unterbringen, wenn Sie befürchten, dass diese an der Tafel nicht zu Ihrer Zufriedenheit gelingen.
Besprechungen zu Ihrem Thema einige Wochen und noch einmal ca. eine Woche vor Ihrem Vortrag gehören zur Vorbereitung. Denken Sie daran, rechtzeitig Termine dafür zu vereinbaren. In der ersten Besprechung werden Sie auch eine grobe Orientierung erhalten, welche Inhalte genau Sie für Ihren Vortrag aufbereiten sollten.
Neben dem eigenen Vortrag ist die rege Teilnahme an der Diskussion zu den anderen Vorträgen ausdrücklich erwünscht.
Gebiete
Analysis (mit Spuren von Geometrie und Algebra)
Literatur
[BK] D. D. Bonar, M. J. Khoury: Real Infinite Series, The Mathematical Association of America (2006)
[Ch] H. Chen, Excursions in Classical Analysis, The Mathematical Association of America (2010)
[Jo] S. Johar: The Big Book of Real Analysis, Springer (2023)
[La] M. Laczkovich: Conjecture and Proof, The Mathematical Association of America (2001)
[LTB] C. H. C. Little, K. L. Teo, B. van Brunt: Real Analysis via Sequences and Series, Springer (2015)
[S2] H. Sedrakyan, N. Sedrakyan: Algebraic Inequalities, Springer (2018)
[Ve] B. J. Venkatachala: Inequalities, Springer (2016)
Einige dieser Bücher sind im Präsenzbestand der Bibliothek oder als Online-Titel aus dem Uni-Netz verfügbar. Von den übrigen kann ich Ihnen Kopien der relevanten Kapitel zur Verfügung stellen.
Allgemeine Hinweise zum Proseminar
- Planen Sie tatsächlich nicht mehr als 60 Minuten für Ihren Vortrag ein. Inklusive der Diskussion haben wir nicht mehr als 90 Minuten Zeit.
- Sie können Tafel und/oder Projektor benutzen. Diese Wahl hat keine Auswirkung auf die Bewertung. Bei beiden Möglichkeiten sind unterschiedliche Schwierigkeiten zu meistern.
- Bedenken Sie, dass Sie nicht allzu viel Zeit auf das Schreiben von Fließtext verwenden können - und auch das Publikum wird Ihnen nicht seine ungeteilte Aufmerksamkeit schenken können, wenn es mit langen Textabschnitten in Schriftform konfrontiert wird.
- Erstellen Sie ein Handout (handschriftlich, computergestützt) im Umfang von ca. einer A4-Seite. Darauf können Sie die wichtigsten Punkte Ihres Vortrags, besonders relevante Formeln, eventuelle Skizzen oder Grafiken und ähnliches unterbringen. Wenn Sie mir das Handout rechtzeitig vor Ihrem Vortrag schicken, kann ich gern die nötigen Exemplare davon drucken oder kopieren.
- Gemäß Modulhandbuch ist zum Bestehen des Moduls auch die aktive Teilnahme an den anderen Vorträgen nötig. Das beinhaltet die aktive Beteiligung an der Diskussion, etwa durch Nachfragen. Sollte sich auf eine Frage aus dem Publikum nicht sofort die Antwort finden, ist das gar nicht tragisch, sondern vielmehr eine gute Gelegenheit, durch gemeinsame Erarbeitung der Antwort den Stoff gezielt zu vertiefen.
