Proseminar Fraktale: Maß und Dimension
Vorbesprechung
Die Vorbesprechung fand am
Mi., 06.08.2025, 18:15 - 19:15
statt.
In Müsli wurde inzwischen die Zuteilung der Vortragsthemen entsprechend Ihrer Präferenzen vorgenommen.
Weitere Anmeldungen sind noch möglich und erfolgen nach dem first come - first served - Prinzip (direkte Anmeldung), allerdings nur noch in die bislang nicht vergebenen Themen.
Termin
Do. 14:15 - 15:45
SR 6 Mathematikon (INF 205)
Der erste Termin ist der 16.10.2025.
Voraussetzungen
Voraussetzung ist die Grundvorlesung Analysis 1. Außerdem werden elementare Begriffe aus dem Bereich metrischer Räume und der Topologie des Rn (z.B. aus Analysis 2, kann parallel besucht werden) benötigt. Viele der Themen sind mit elementarer Schulmathematik behandelbar und eignen sich auch zur Vorstellung im schulischen Kontext. Nicht nur deshalb ist die Veranstaltung auch für Studierende im B.Sc. 50% mit Lehramtsoption gut geeignet.
Inhalt
Obwohl spätestens seit Mitte des 19. Jahrhunderts bekannt, fristeten Fraktale in der Mathematik lange ein Nischendasein als pathologische Gegenbeispiele. Die Suche nach solchen Gegenbeispielen war auch die Motivation für die Konstruktion etwa der Cantor-Mengen, der Weierstraß-Funktion oder der Peano-Kurven. Erste systematische Untersuchungen wurden dann im frühen 20. Jahrhundert durchgeführt, als Minkowski, Bouligand und Hausdorff neue Dimensionsbegriffe einführten, die nicht ganzzahlige Dimensionen erlaubten. Doch auch diese Begriffe blieben lange weitgehend unbeachtet - abseits der Arbeiten von Besicovich, der gezielt die Dimension und Geometrie zahlreicher Mengen untersuchte. Die Bezeichnung Fraktal wurde hingegen erst um 1975 durch Benoît Mandelbrot geprägt, und obwohl bis heute keine feste Definition besteht, ist die fraktale Geometrie seither - auch dank der Verfügbarkeit immer leistungsfähiger Rechner - stärker ins Zentrum der mathematischen Forschung gerückt. Ihren Charme als Gegenbeispiele zur Schärfung unserer mathematischen Intuition haben Fraktale dabei keineswegs verloren.
Tatsächlich werden wir im Rahmen dieses Proseminars auf Begriffe und Aussagen der Analysis, der Geometrie, der Topologie und anderer Gebiete der Mathematik zurückgreifen, um Fraktale zu konstruieren und deren Wesen zu erfassen. Umgekehrt finden sich immer mehr Anwendungen innerhalb der Mathematik (neben der offensichtlichen Geometrie auch in der Zahlentheorie, Analysis, Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie), aber auch in Physik, Biologie, Medizin, Wirtschaftswissenschaft, Computergraphik, Geologie, Meteorologie und zahlreichen anderen Bereichen von Wissenschaft und Technik. Naturgemäß können wir die meisten dieser Themengebiete im Rahmen eines einzelnen Proseminars bestenfalls streifen.
Zunächst werden wir ein paar Beispiele fraktaler Mengen erkunden und deren elementare Eigenschaften untersuchen. Danach werden wir einige Grundlagen der (naiven) Mengenlehre und Topologie (von Teilmengen des euklidischen Rn) rekapitulieren und einige Grundbegriffe der Maßtheorie einführen, um die nötigen Dimensionsbegriffe entwickeln zu können. Dann kommen wir zur systematischen Konstruktion von Fraktalen und werden sehen, wie sich diese Mengen aus Grenzprozessen mit ganz unterschiedlichen Ausgangspunkten ergeben. Gewappnet mit unseren zuvor entwickelten theoretischen Grundlagen können wir die erhaltenen Fraktale nun genauer untersuchen.
Themenliste
Die Themen sind den Büchern [1] und [4] entnommen.
| Termin | Titel | Ref. |
|
16.10. |
Einführende Beispiele 1 | [1] Abschnitte 2.1-5 |
|
23.10. |
Transformationen der reellen Achse | [4] Abschnitt 3.1 |
|
30.10. |
Affine Transformationen der Ebene | [4] Abschnitt 3.2 |
|
06.11. |
Der Raum der Fraktale | [4] Abschnitt 2.6 |
|
13.11. |
Vollständigkeit des Raums der Fraktale | [4] Abschnitt 2.7 |
|
20.11. |
Kontraktionen und Kontraktionsprinzip | [4] Abschnitte 3.5-7 |
|
27.11. |
Konstruktion von Fraktalen, Kondensation | [4] Abschnitte 3.8-9 |
|
04.12. |
Erste Dimensionsbegriffe | [1] Abschnitte 2.6, 4.2-3 |
|
11.12. |
"Fraktale" Dimension, Quadrate zählen | [4] Abschnitt 5.1 |
|
18.12. |
Berechnung von Dimensionen | [4] Abschintte 5.2-3 |
|
08.01. |
Die Hausdorff-Dimension | [4] Abschnitt 5.4 |
| 15.01. | Das Chaos-Spiel |
[1] Abschnitte 6.1-2 |
|
22.01. |
Fraktale mit etwas Zufall | [1] Abschnitte 9.1-9.3 |
|
29.01. |
Brownsche Bewegung als Fraktal | [1] Abschnitte 9.4-9.5 |
Anforderungen
Zu einem Thema halten Sie einen Vortrag von ca. 60 Minuten plus Diskussion. Die Vorträge werden an der Tafel gehalten, dazu wird eine Zusammenfassung (höchstens eine A4-Seite) für das Publikum erstellt. Eine Besprechung zu Ihrem Thema ca. eine Woche vor Ihrem Vortrag gehört zur Vorbereitung. Denken Sie daran, rechtzeitig einen Termin zu vereinbaren. Neben dem eigenen Vortrag ist die rege Teilnahme an der Diskussion zu den anderen Vorträgen ausdrücklich erwünscht.
Gebiete
Angewandte Mathematik, Stochastik, Analysis
Literatur
[1] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer (1992)
[2] K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley (2014)
[3] D. Gulick, Encounters with Chaos and Fractals, Chapman and Hall/CRC (2012)
[4] M. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press (1988)
Allgemeine Hinweise zum Proseminar
- Planen Sie tatsächlich nur ca. 60 Minuten für Ihren Vortrag ein. Inklusive der Diskussion haben wir nicht mehr als 90 Minuten Zeit.
- Sie können Tafel und/oder Projektor benutzen. Diese Wahl hat keine Auswirkung auf die Bewertung. Bei beiden Möglichkeiten sind unterschiedliche Schwierigkeiten zu meistern.
- Bedenken Sie, dass Sie nicht allzu viel Zeit auf das Schreiben von Fließtext verwenden können - und auch das Publikum wird Ihnen nicht seine ungeteilte Aufmerksamkeit schenken können, wenn es mit langen Textabschnitten in Schriftform konfrontiert wird.
- Erstellen Sie ein Handout (handschriftlich, computergestützt) im Umfang von ca. einer A4-Seite. Darauf können Sie die wichtigsten Punkte Ihres Vortrags, besonders relevante Formeln, eventuelle Skizzen oder Grafiken und ähnliches unterbringen. Wenn Sie mir das Handout rechtzeitig vor Ihrem Vortrag schicken, kann ich gern die nötigen Exemplare davon drucken oder kopieren.
- Zur Vorbereitung gehört mindestens die Besprechung ca. eine Woche vor Ihrem Vortragstermin (direkt nach dem vorherigen Vortrag wäre ein geeigneter Termin). Dabei werden wir die geplanten Inhalte gemeinsam durchgehen. Sollten Sie weiteren Beratungsbedarf haben, können auch individuell weitere Termine zur Besprechung vereinbart werden.
- Gemäß Modulhandbuch ist zum Bestehen des Moduls auch die aktive Teilnahme an den anderen Vorträgen nötig. Das beinhaltet die aktive Beteiligung an der Diskussion, etwa durch Nachfragen. Sollte sich auf eine Frage aus dem Publikum nicht sofort die Antwort finden, ist das gar nicht tragisch, sondern vielmehr eine gute Gelegenheit, durch gemeinsame Erarbeitung der Antwort den Stoff gezielt zu vertiefen.
